SERIE DE FOURIER Y TRANSFORMADA DE FOURIER

 Serie de Fourier

Esta serie se usa en análisis de señales para representar las componentes senoidales de una onda periódica no senoidal, es decir, para cambiar una señal en el dominio del tiempo a una señal en el dominio de la frecuencia. En general, se puede obtener una serie de Fourier para cualquier función periódica, en forma de una serie de funciones trigonométricas con la siguiente forma matemática

La ecuación indica que la forma de onda f (t) comprende un valor promedio (A0) de cd, una serie de funciones cosenoidales en las que cada término sucesivo tiene una frecuencia que es múltiplo entero de la frecuencia del primer término cosenoidal de la serie, y una serie de funciones senoidales en la que cada término sucesivo tiene una frecuencia que es múltiplo entero de la del primer término senoidal de la serie. No hay restricciones para los valores o los valores relativos de las amplitudes de los términos seno y coseno. La ecuación se enuncia como sigue en palabras: Cualquier forma de onda periódica está formada por un componente promedio y una serie de ondas senoidales y cosenoidales relacionadas armónicamente. Una armónica es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. La frecuencia fundamental es la primera armónica, y es igual a la frecuencia (rapidez de repetición) de la forma de onda.

Simetría de onda. Dicho en términos sencillos, la simetría de la onda describe la simetría de una forma de onda en el dominio del tiempo, esto es, su posición relativa con respecto a los ejes horizontal (tiempo) y vertical (amplitud).

 

• Simetría par. Si una forma de onda periódica de voltaje es simétrica respecto al eje vertical (amplitud) se dice que tiene simetría especular, o de ejes, y se llama función par. Para todas las funciones pares, los coeficientes B de la ecuación son cero. Por consiguiente, la señal sólo contiene un componente de cd y los términos cosenoidales (nótese que la misma onda cosenoide es una función par). La suma de una serie de funciones pares es una función par. Las funciones pares satisfacen la condición:

f (t) =f (-t)

De acuerdo con la ecuación 1-7, la magnitud y la polaridad de la función en +t es igual a la magnitud y la polaridad en -t. En la fig. 1-11a se ve una forma de onda que sólo contiene funciones pares.

• Simetría impar. Si una forma periódica de onda de voltaje es simétrica respecto a una línea intermedia entre el eje vertical y el horizontal negativo (es decir, a los ejes en el segundo y cuarto cuadrantes) y pasa por el origen de las coordenadas, se dice que tiene una simetría puntual o que es antisimétrica, y se le llama función impar. Para todas las funciones impares, los coeficientes A de la ecuación son cero. Por consiguiente, la señal tan sólo contiene un componente de cd y los términos senoidales (nótese que la misma onda seno es una función impar). La suma de una serie de funciones impares es una función impar. A esta forma primero se le debe reflejar en el eje Y y después en el eje X para sobreponerla consigo misma. Así,

f (t) =-f (-t)

La ecuación  establece que la magnitud de la función en +t es igual al negativo de la magnitud en -t, es decir, que las magnitudes en esos puntos son iguales, pero los signos son opuestos.

• Simetría de media onda. Si una forma de onda periódica de voltaje es tal que la onda del primer medio ciclo (t =0 a t = T/2) se repite, pero con signo contrario, durante el segundo medio ciclo (t = T/2 a t = T), se dice que tiene simetría de media onda. Para todas las formas de onda con simetría de media onda, las armónicas pares de la serie, en los términos en seno y en coseno, son cero. Por consiguiente, las funciones de media onda cumplen con la condición

Aplicaciones de las series de Fourier

• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
• Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
• Reforzamiento de señales.
• Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.
• La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admite soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

Transformada de Fourier

La palabra ”transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier será útil (como veremos) para simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo el problema de la solución de una ED en un problema de solución de ecuaciones algebraicas. La motivación para dicho estudio está en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal, etc.

para todo Z ∈ R donde la expresión anterior tenga sentido, es decir, donde la integral impropia anterior sea convergente.

Transformadas de Fourier discreta

En esa transformación se muestrea una señal en el dominio del tiempo, en tiempos discretos. Las muestras se alimentan a una computadora donde un algoritmo calcula la transformación. Sin embargo, el tiempo de computación es proporcional a n elevada 2, siendo n la cantidad de muestras. Para cualquier cantidad razonable de muestras, el tiempo de computación es excesivo.

 

Transformadas de Fourier rápida

Esta fue creada en 1965, por Cooley y Tukey. el tiempo de cómputo es proporcional a n log2 n, y no a n elevada 2. Hoy se cuenta con la FFT(fast Fourier Transform) en forma de subrutina, en muchas bibliotecas de subrutinas científicas en los grandes centros de cómputo.

 

Propiedades

• Existencia: Las dos condiciones siguientes son suficientes para la existencia de la transformada de Fourier de un función f(t) definida en R y son:

1.    f(t) es continua a trozos en R.

2.    f(t) es absolutamente integrable en R.

 

• Linealidad de la transformación de Fourier: Para cualesquiera funciones f(t) y g(t) cuyas transformadas de Fourier existen y para constantes a y b cualesquiera

 

La prueba de esta propiedad viene directamente de la linealidad de la

integral ya que

• Transformada de Fourier de la derivada: Sea f una función continua y absolutamente integrable en R con

y f´ continua a trozos en R. Entonces

La demostración de este resultado se realiza mediante la fórmula de integración por partes

ya que

Mediante dos aplicaciones sucesivas se obtiene

Se aplicará lo mismo para derivadas superiores obteniendo que para n ≥ 1

• Cambio de escala: Sea a > 0. Si f es una función continua y absolutamente integrable en R, entonces

La demostración de este resultado se realiza mediante el cambio de variable at = s donde adt = ds y como a > 0

Por lo tanto

• Derivada de la transformada: Si f es una función continua y absolutamente integrable en R, entonces

• Convolución: El objetivo es el mismo que en el caso de la transformada de Laplace: la convolución de funciones corresponde a la multiplicación de sus transformadas de Fourier Sean f y g dos funciones continuas por secciones, acotadas y absolutamente integrables. Entonces

        Como

y haciendo ahora el cambio de variable t + s = x